高等数学（上册）最新章节_林建华，杨世廞，高琪仁，许清泉，庄平辉，著

§1.4　无穷小与无穷大

这一节我们要研究两类特殊的量：一类是以零为极限的量；另一类量虽说在其变化过程中极限不存在，但其绝对值无限增大，是特殊的发散的量．这两类量在数列与函数极限的研究中起着十分重要的作用，它们就是下面要介绍的无穷小量与无穷大量．

一、无穷小与无穷大的概念

1．无穷小

定义1　以零为极限的量称为无穷小量，简称为无穷小．具体地说，若当x→x ₀ （或x→∞）时，f（x）→0，则称函数f（x）为当x→x ₀ （或x→∞）时的无穷小．特别地，若，则称数列｛x _n ｝为无穷小．

例如，f（x）＝2x是当x→0时的无穷小；数列是无穷小，也是无穷小．

注　无穷小是一个量，是一个在其自变量的变化过程中，绝对值变得可以小于任意事先给定的正数的量．因此，除了常数0外，任何的非零常数都不可能是无穷小．

2．无穷大

定义2　若对于任意给定的正数M（不管它多么大），总存在正数δ（或正数X），使得当0＜｜x－x ₀ ｜＜δ（或｜x｜＞X）时，恒有

｜f（x）｜＞M，

则称函数f（x）为当x→x ₀ （或x→∞）时的无穷大，记为

类似地，可以定义

与

此时只需把定义2中的｜f（x）｜＞M分别改为f（x）＞M与f（x）＜-M即可．

注1　无穷大是一个量而不是一个数，任何很大的数都不是无穷大．

注2 只是一个记号，并不代表函数f（x）的极限存在．相反地，此时函数极限不存在，它是函数极限不存在的一种特殊形式．

注3　一个函数是否为无穷大或无穷小，与自变量的变化过程息息相关．例如，函数当x→0时是无穷大，而当x→∞时却是无穷小；当x→x ₀ （x ₀ ≠0为有限数）时，从而此时f（x）既不是无穷小，也不是无穷大．

注4　我们不加证明地给出如下事实：

（1）与§1.3单侧极限的定理1平行，有

其中⇔表示等价．

（2）而而

若以a＞1代替e，上述（2）中的公式仍成立．

上述几个极限公式十分常用，必须牢记．

3．无穷小与无穷大的关系

由定义可以看出，无穷小与无穷大之间存在着天然的联系．

定理1　在自变量x的同一变化过程中，若f（x）为无穷大，则为无穷小；反之，若f（x）为无穷小，且f（x）≠0，则为无穷大．

证　仅对x→x ₀ 的情形加以证明．

设对于任意事先给定的正数ε，取按定义，存在δ＞0，当0＜｜x－x ₀ ｜＜δ时，恒有由此得

这说明，当x→x ₀ 时，为无穷小．

反之，设且f（x）≠0．对于任给的正数M，取按定义，存在δ＞0，当0＜｜x－x ₀ ｜＜δ时，恒有

从而

所以也即当x→x ₀ 时，为无穷大．

在上述注4中，只需令t＝-x，再应用定理1，读者很容易由自行推导出另一个极限

4．无穷小与极限的关系

用极限的ε-δ（或ε-X）定义去验证数A是否为函数的极限，相对来说是比较复杂的．有了无穷小概念，我们可以建立函数极限存在的一个等价性定理，通过它把函数极限的问题转化为常数与无穷小的代数运算问题，从而在验证极限，尤其是在理论上证明和推导极限方面带来便利．

定理2　极限的充分必要条件是f（x）＝A＋α，其中α是当x→x ₀ 时的无穷小．

证　必要性　设则对任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0＜｜x－x ₀ ｜＜δ时，恒有

｜f（x）－A｜＜ε，

令α＝f（x）－A，则f（x）＝A＋α，且也即α是当x→x ₀ 时的无穷小．

充分性　设f（x）＝A＋α，其中α是当x→x ₀ 时的无穷小，则有

α＝f（x）－A，

并且由无穷小的定义知，对任意给定的正数ε，存在正数δ，使当0＜｜x－x ₀ ｜＜δ时，恒有

｜α｜＜ε，也即｜f（x）－A｜＜ε，

由此得

注　定理2对于自变量的其他变化过程仍然成立．

二、无穷小的运算性质

由定理2可以看出，在极限的验证与计算中，无穷小的代数运算是重要的．下面不加证明地介绍无穷小的运算性质，证明过程请读者自行补出．

定理3　有限个无穷小的代数和仍为无穷小．

定理4　有限个无穷小的积仍为无穷小．

定理5　有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小．

推论　常数与无穷小的乘积仍为无穷小．

例　求极限

解　因为即当x→0时，x是无穷小，而是有界函数，由定理5知也是无穷小，因此

类似地，可以证得

注　从有限到无限，是量变到质变的过程．有限个无穷小的代数和仍为无穷小，而无穷多个无穷小的和就未必是无穷小，这一点应引起注意．例如，当n→∞时是无穷小，有限个（比如k个，k是有限数）相加等于仍为无穷小．但是，n个的和却等于常数1，它当n→∞时不再是无穷小．若n ² 个相加，其和为n，当n→∞时却变为无穷大．类似地，无穷多个无穷小的乘积也未必是无穷小．