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这一节我们要研究两类特殊的量：一类是以零为极限的量；另一类量虽说在其变化过程中极限不存在，但其绝对值无限增大，是特殊的发散的量．这两类量在数列与函数极限的研究中起着十分重要的作用，它们就是下面要介绍的无穷小量与无穷大量．
定义1 以零为极限的量称为无穷小量，简称为无穷小．具体地说，若当x→x
0
（或x→∞）时，f（x）→0，则称函数f（x）为当x→x
0
（或x→∞）时的无穷小．特别地，若
，则称数列｛x
n
｝为无穷小．
例如，f（x）＝2x是当x→0时的无穷小；数列
是无穷小，
也是无穷小．
注 无穷小是一个量，是一个在其自变量的变化过程中，绝对值变得可以小于任意事先给定的正数的量．因此，除了常数0外，任何的非零常数都不可能是无穷小．
定义2 若对于任意给定的正数M（不管它多么大），总存在正数δ（或正数X），使得当0＜｜x－x 0 ｜＜δ（或｜x｜＞X）时，恒有
｜f（x）｜＞M，
则称函数f（x）为当x→x 0 （或x→∞）时的无穷大，记为
类似地，可以定义
与
此时只需把定义2中的｜f（x）｜＞M分别改为f（x）＞M与f（x）＜-M即可．
注1 无穷大是一个量而不是一个数，任何很大的数都不是无穷大．
注2
只是一个记号，并不代表函数f（x）的极限存在．相反地，此时函数极限不存在，它是函数极限不存在的一种特殊形式．
注3 一个函数是否为无穷大或无穷小，与自变量的变化过程息息相关．例如，函数
当x→0时是无穷大，而当x→∞时却是无穷小；当x→x
0
（x
0
≠0为有限数）时，
从而此时f（x）既不是无穷小，也不是无穷大．
注4 我们不加证明地给出如下事实：
（1）与§1.3单侧极限的定理1平行，有
其中⇔表示等价．
（2）
而
而
若以a＞1代替e，上述（2）中的公式仍成立．
上述几个极限公式十分常用，必须牢记．
由定义可以看出，无穷小与无穷大之间存在着天然的联系．
定理1 在自变量x的同一变化过程中，若f（x）为无穷大，则
为无穷小；反之，若f（x）为无穷小，且f（x）≠0，则
为无穷大．
证 仅对x→x 0 的情形加以证明．
设
对于任意事先给定的正数ε，取
按定义，存在δ＞0，当0＜｜x－x
0
｜＜δ时，恒有
由此得
这说明，当x→x
0
时，
为无穷小．
反之，设
且f（x）≠0．对于任给的正数M，取
按定义，存在δ＞0，当0＜｜x－x
0
｜＜δ时，恒有
从而
所以
也即当x→x
0
时，
为无穷大．
在上述注4中，只需令t＝-x，再应用定理1，读者很容易由
自行推导出另一个极限
用极限的ε-δ（或ε-X）定义去验证数A是否为函数的极限，相对来说是比较复杂的．有了无穷小概念，我们可以建立函数极限存在的一个等价性定理，通过它把函数极限的问题转化为常数与无穷小的代数运算问题，从而在验证极限，尤其是在理论上证明和推导极限方面带来便利．
定理2 极限
的充分必要条件是f（x）＝A＋α，其中α是当x→x
0
时的无穷小．
证 必要性 设
则对任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0＜｜x－x
0
｜＜δ时，恒有
｜f（x）－A｜＜ε，
令α＝f（x）－A，则f（x）＝A＋α，且
也即α是当x→x
0
时的无穷小．
充分性 设f（x）＝A＋α，其中α是当x→x 0 时的无穷小，则有
α＝f（x）－A，
并且由无穷小的定义知，对任意给定的正数ε，存在正数δ，使当0＜｜x－x 0 ｜＜δ时，恒有
｜α｜＜ε，也即｜f（x）－A｜＜ε，
由此得
注 定理2对于自变量的其他变化过程仍然成立．
由定理2可以看出，在极限的验证与计算中，无穷小的代数运算是重要的．下面不加证明地介绍无穷小的运算性质，证明过程请读者自行补出．
定理3 有限个无穷小的代数和仍为无穷小．
定理4 有限个无穷小的积仍为无穷小．
定理5 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小．
推论 常数与无穷小的乘积仍为无穷小．
例 求极限
解 因为
即当x→0时，x是无穷小，而
是有界函数，由定理5知
也是无穷小，因此
类似地，可以证得
注 从有限到无限，是量变到质变的过程．有限个无穷小的代数和仍为无穷小，而无穷多个无穷小的和就未必是无穷小，这一点应引起注意．例如，
当n→∞时是无穷小，有限个（比如k个，k是有限数）
相加等于
仍为无穷小．但是，n个
的和却等于常数1，它当n→∞时不再是无穷小．若n
2
个
相加，其和为n，当n→∞时却变为无穷大．类似地，无穷多个无穷小的乘积也未必是无穷小．
1．判断题：
（1）x 2 是无穷小； （ ）
（2）零是无穷小； （ ）
（3）无穷多个无穷小的和仍然是无穷小； （ ）
（4）两个无穷小的商是无穷小； （ ）
（5）两个无穷大之和一定是无穷大； （ ）
（6）无穷大必为无界函数； （ ）
（7）有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小； （ ）
（8）有界函数与无穷大的乘积仍然是无穷大． （ ）
2．指出下列哪些是无穷小量，哪些是无穷大量：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
3．设当x→x 0 时，α（x）为无穷小，β（x）为无穷大，则（ ）必为无穷大．
（A）α（x）＋β（x）
（B）
（C）α（x）β（x）
（D）
4．当x→∞时，函数f（x）＝xsinx是（ ）．
（A）无穷小
（B）无穷大
（C）有界函数
（D）无界函数
5．根据定义证明函数
为当x→0时的无穷小．