§1.3　函数的极限

一、函数极限的定义

数列是以正整数n为自变量的特殊函数．数列的极限考查的是，在自变量n无限增大（n→+∞）过程中，函数值f（n）是否会无限靠近某一个确定的数．我们很自然地想到把上述思想推广到一般的函数y＝f（x）上去．不过，此时自变量x的变化形式复杂得多，归纳起来有两大类型：

（1）自变量x趋于一个有限值x ₀ ，记为x→x ₀ ；

（2）自变量x的绝对值｜x｜无限增大，即趋于无穷大，记为x→∞．

1．自变量趋于有限值时函数的极限

考虑函数f（x）的自变量x趋于一个有限值x ₀ ，即x→x ₀ 的情形．若此时函数值f（x）无限靠近一个确定的数A，我们常说函数f（x）当x→x ₀ 时以数A为极限．但这是描述性的语言，我们希望用数学语言把它精确表达出来．

与数列极限的定义类似，我们分别用｜x－x ₀ ｜，｜f（x）－A｜表达x与x ₀ ，f（x）与数A的靠近程度．因此，我们有如下的定义：

定义1　设函数f（x）在点x ₀ 的某个去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意给定的正数ε（不管它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0＜｜x－x ₀ ｜＜δ时，恒有

｜f（x）－A｜＜ε，

则称常数A为函数f（x）当x→x ₀ 时的极限，记为

或　f（x）→A（x→x ₀ ）．

注1　该定义中限制0＜｜x－x ₀ ｜，即x≠x ₀ ，表示当x→x ₀ 时f（x）是否有极限以及极限为何值，与f（x）在点x ₀ 处是否有定义或取何值是没有关系的．

注2　正数ε必须是任意给定的．它给定之后，再寻找δ．因此，δ是依赖于ε的，也与点x ₀ 有关．所寻找的δ，只要存在就行，不要求是最小的．一般说来，ε给得越小，则满足要求的δ就可能会更小一些．

注3　此定义说明，正数ε任意给定之后，就给定了数A的一个邻域U（A，ε）＝（A－ε，A＋ε），函数f（x）当x→x ₀ 时以数A为极限，就意味着必可以找到x ₀ 的一个去心δ邻域Ů（x ₀ ，δ），使得只要x落在这个x ₀ 的去心δ邻域内，则函数值f（x）就必定要落在数A的邻域U（A，ε）内．从几何上看，若作两条平行于x轴的直线y＝A－ε与y＝A＋ε，组成一个带形区域，则只要横坐标x落在x ₀ 的去心δ邻域Ů（x ₀ ，δ）内，函数y＝f（x）的图形就一定要落在上述带形区域内（见图1-2）．

定义1常称为函数极限的“ε-δ定义”．类似于数列极限的ε-N论证法，我们有证明函数极限的ε-δ论证法：

（1）对任意给定的正数ε，解绝对值不等式

｜f（x）－A｜＜ε；

（2）适度放大：｜f（x）－A｜＜α（｜x－x ₀ ｜）＜ε，解出

0＜｜x－x ₀ ｜＜φ（ε）；

（3）取δ≤φ（ε），按ε-δ定义论述结论．

图　1-2

例1　用定义证明极限

证　由于

｜f（x）－A｜＝｜（2x＋3）－5｜＝2｜x－1｜，

对于任意给定的ε＞0，为使｜f（x）－A｜＜ε，只要 即可．因此，取 则当0＜｜x－1｜＜δ时，就有

｜（2x＋3）－5 ｜＜ε．

所以

例2　证明极限

证　当x≠2时，

对于任意给定的ε＞0，为使｜f（x）－A｜＜ε，只要｜x－2｜＜ε即可．因此，取δ＝ε＞0，则当0＜｜x－2｜＜δ时，就有

所以

例2进一步说明，尽管f（x）在x＝2处没有定义，却并不影响它有极限4．

注　仿上面的例子易证 对此我们留给读者自证．更一般地，有 其中当n为偶数时，应有x ₀ ＞0．

2．单侧极限

在上述函数极限的定义中，自变量x可以以任意的方式趋于x ₀ ，既可以从x ₀ 的左侧（即x比x ₀ 小），也可以从x ₀ 的右侧（即x比x ₀ 大）趋于x ₀ ．但是，有时候函数f（x）只在x ₀ 的某一侧有定义，或者我们需要分别考查x只从x ₀ 的某一侧趋于x ₀ 时函数f（x）的性状，这时就要引进函数单侧极限的概念．

当x从x ₀ 的左侧趋于x ₀ （记为x→x ）时，函数值f（x）无限靠近一个确定的数A，就称A为函数f（x）当x→x ₀ 时的左极限，记为 或f（x ）＝A．若用ε-δ语言表述，只要在定义1中把“0＜｜x－x ₀ ｜＜δ”改为“x ₀ －δ＜x＜x ₀ ”即可．

类似地，当x从x ₀ 的右侧趋于x ₀ （记为x→x ）时，也可以定义函数f（x）当x→x ₀ 时的右极限 或f（x ）＝A，此时只要相应地在定义1中把“0＜｜x－x ₀ ｜＜δ”改为“x ₀ ＜x＜x ₀ ＋δ”即可．函数f（x）当x→x ₀ 时的左极限和右极限统称为单侧极限．

从函数极限及其单侧极限的定义，不难看出它们之间的联系．我们有如下定理：

定理1　极限 的充分必要条件是

定理1告诉我们，若函数f（x）的两个单侧极限中有一个不存在，或者虽然两个单侧极限都存在但不相等，那么函数极限就不存在．在判断分段函数在分段点处的极限时，这个定理是相当有用的．

例3　考查函数 当x→0时的极限．

解　由于

即 所以 不存在．

例4　考查函数 当x→1时的极限．

解　由于

即 所以 （尽管函数f（x）在x＝1处没有定义）．

3．自变量趋于无穷大时函数的极限

当自变量x的绝对值无限增大，也即x→∞时，若对应的函数值f（x）无限靠近一个常数A，则我们称常数A为函数f（x）当x→∞时的极限．对此，用数学语言可以描述如下：

定义2　设函数f（x）当｜x｜大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意给定的正数ε（不管它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式｜x｜＞X时，恒有

｜f（x）－A｜＜ε，

则称常数A为函数f（x）当x→∞时的极限，记为

或　f（x）→A（x→∞）．

有时称定义2为函数极限的“ε-X定义”．这一定义的几何解释与定义1类似， 意味着，当横坐标x位于区间（-∞，-X）或（X，+∞）内时，曲线y＝f（x）相应的部分就一定要落到由两平行直线y＝A－ε和y＝A＋ε所组成的带形区域内．

类似地，可以定义 此时自变量x无限增大（记为x→+∞），定义2中的｜x｜＞X应该相应改为x＞X；也可以定义lim f（x）＝A，此时自变量x无限减小，｜x｜无限增大（记为x→-∞），定义2中的｜x｜＞X应该相应改为x＜-X．

容易看到，当自变量x为正整数n时， 就是数列极限

对应于定理1，我们有下面的结论：

定理2　极限 的充分必要条件是

例5　用定义证明极限

证　当x≠0时，

对于任意给定的ε＞0，为使｜f（x）－A｜＜ε，只要 或 即可．因此，取 则当｜x｜＞X时，就有

所以

注　我们不加证明地给出以下两个常用极限，读者不难应用定义自行验证：

二、函数极限的性质

函数极限有着一系列与数列极限类似的性质，它们的证明也与数列极限相应性质的证明基本相同．我们平行地列出有关性质，把证明留给读者．此外，读者应注意比较二者性质之间细微的差别．这些性质，对于自变量的六种变化过程x→x ₀ ，x→x ，x→x ，x→∞，x→+∞，x→-∞都是适用的，我们仅以x→x ₀ 为例加以阐述．

1．唯一性

定理3　若极限 存在，则其极限值必唯一．

2．局部有界性

在上一节里我们知道，若一个数列收敛，它一定是有界的．但是，对应到函数极限上，却得不到同样的结论．也就是说，尽管函数极限 存在，函数f（x）却未必有界．例如，例1已经证明 但显然函数f（x）＝2x＋5在（-∞，+∞）内无界．不过，若限制在x ₀ ＝1的附近，f（x）就有界了．我们称这种有界性为局部有界性．

定理4　若极限 存在，则存在正数δ，使得函数f（x）在点x ₀ 的去心δ邻域 （x ₀ ，δ）内有界．

3．局部保号性

定理5　若极限 则存在正数δ，使得当0＜｜x－x ₀ ｜＜δ时，恒有f（x）＞0（或＜0）．

与数列极限的情形相同，我们还可得到更强的一些推论．

推论1　若极限 则存在正数δ，使得当0＜｜x－x ₀ ｜＜δ时，恒有

推论2　若极限 且在点x ₀ 的某个去心邻域内有f（x）≥0（或 ≤0），则必有A≥0（或≤0）．

推论3　若在点x ₀ 的某个去心邻域内有f（x）≥g（x），且极限 则A≥B．

4．函数极限与数列极限的关系

由于数列是自变量取正整数的特殊函数，因此数列的极限与相应的函数极限之间必然存在某种联系．这种联系集中体现在下述的定理之中．

定理6（海涅 定理）　极限 的充分必要条件是：对于函数f（x）定义域中满足条件 且x _n ≠x ₀ （n＝1，2，…）的任意数列｛x _n ｝，相应的函数值数列｛f（x _n ）｝都收敛，且都收敛于常数A，即有

证　必要性　设 则对于任意给定的ε＞0，存在δ＞0，当0＜｜x－x ₀ ｜＜δ时，恒有｜f（x）－A｜＜ε．又因 故对于上述的δ＞0，必定存在正整数N，当n＞N时，有｜x _n －x ₀ ｜＜δ．由于x _n ≠x ₀ （n＝1，2，…），因而当n＞N时，有0＜｜x _n －x ₀ ｜＜δ，从而就有

｜f（x _n ）－A｜＜ε．

这说明 必要性得证．

充分性的证明略．

注1　海涅定理提供了计算数列极限的另一种思路：如果一个数列的极限 不易求，可以把n改为x，转而计算函数极限 （注意，极限过程应是x+∞，而不是x→∞）．若求得 则必有 将来可以看到，求函数极限的工具相对来说比较多，这就给了我们很大的便利．

注2　海涅定理还常常用来证明函数极限不存在．只要以下两种情形中有一种发生，则极限 必不存在：

（1）若能找到一个数列｛x _n ｝，其各项不等于x ₀ ，且它收敛于x ₀ ，但 不存在．

（2）若能找到两个数列｛x _n ｝与｛y _n ｝，其各项不等于x ₀ ，且它们都收敛于x ₀ ，但

例6　证明函数 当x→0时极限不存在．

证　取数列 显然有x _n ≠0，y _n ≠0（n＝1，2，…），且

x _n →0，　y _n →0　（n→∞）．

由于

即 故由海涅定理知， 不存在．

思考　证明函数 当x→0时极限不存在．

习题　1.3

1．根据函数极限的定义证明：

（1）

（2）

（3）

2．设函数

（1）求左极限f（0 ^- ）和右极限f（0 ⁺ ），并判断极限 是否存在；

（2）求极限 并判断极限 是否存在．

3．函数f（x）当x→x ₀ 时极限存在是f（x）在点x ₀ 的某个去心邻域内有界的（　　）．

（A）充分但非必要条件

（B）必要但非充分条件

（C）充分必要条件

（D）既非充分条件，又非必要条件

4．左极限 与右极限 都存在是极限 存在的（　　）．

（A）充分但非必要条件

（B）必要但非充分条件

（C）充分必要条件

（D）既非充分条件，又非必要条件

5．证明函数f（x）＝sinx当x→∞时极限不存在． WUmdnEHkPUoYmdi8JMsvmcB1oJeeq7ZVso1xMjudO8eWSr67mcwfmUa9AraOhFGX