§1.2　数列的极限

一、数列

1．数列的概念

按照正整数顺序排列的无穷多个数

x ₁ ，x ₂ ，…，x _n ，…

称为数列，简记为｛x _n ｝．数列中的每一个数称为数列的项，第n项x _n 称为数列的通项或一般项．例如，数列

它们的通项依次为

数列可以视为以正整数n为自变量的函数x _n ＝f（n）（n＝1，2，…）按f（1），f（2），…，f（n），…排列起来．若把数列｛x _n ｝中的每一项在数轴上表示出来，就得到数轴上的一个点列．

2．有界数列

定义1　设有数列｛x _n ｝，若存在正数M，使得对于所有的x _n （n＝1，2，…），都有

｜x _n ｜≤M，

则称数列｛x _n ｝是有界的；反之，则称数列｛x _n ｝是无界的．

显然，数列 是有界的，而数列｛x _n ｝＝｛2 ^n－1 ｝是无界的．

从几何上看，当数列｛x _n ｝有界时，则存在正数M，使得-M≤x _n ≤M，从而｛x _n ｝的点列全都落在闭区间［-M，M］上；反之，若一个数列的点列全都落在一个闭区间［-M，M］上，则这个数列必定是有界的．

若存在实数M ₁ ，使得对于所有的x _n （n＝1，2，…），都有

x _n ≤M ₁ ，

则称数列｛x _n ｝是有上界的，数M ₁ 称为数列｛x _n ｝的一个上界；类似地，若存在实数M ₂ ，使得对于所有的x _n （n＝1，2，…），都有

x _n ≥M ₂ ，

则称数列｛x _n ｝是有下界的，数M ₂ 称为数列｛x _n ｝的一个下界．

易知，若数列｛x _n ｝是有上（下）界的，则必有无穷多个上（下）界；一个数列有界，其充分必要的条件是它既有上界又有下界．

3．单调数列

定义2　如果数列｛x _n ｝满足条件

x ₁ ≤x ₂ ≤x ₃ ≤…≤x _n ≤x _n＋1 ≤…，

则称数列｛x _n ｝是单调增加的；如果数列｛x _n ｝满足条件

x ₁ ≥x ₂ ≥x ₃ ≥…≥x _n ≥x _n＋1 ≥…，

则称数列｛x _n ｝是单调减少的．单调增加与单调减少的数列统称为单调数列．

4．子列

定义3　在数列｛x _n ｝中任意抽取无穷多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的数列称为数列｛x _n ｝的子数列，简称为子列，记为｛x _{n k} ｝．

显然，子列｛x _{n k} ｝中的第一项x _{n 1} 在原数列｛x _n ｝中是第n ₁ 项，且n ₁ ≥1；子列｛x _{n k} ｝中的第二项x _{n 2} 在原数列｛x _n ｝中是第n ₂ 项，且n ₂ ≥2；一般地，子列｛x _{n k} ｝中的第k项x _{n k} 在原数列｛x _n ｝中是第n _k 项，且n _k ≥k．

二、数列极限的定义

对于给定的数列｛x _n ｝，我们感兴趣的是，当项数n无限增大时，其对应的项x _n ＝f（n）是否会无限地靠近某一个数a．

通过观察，我们发现当n无限增大时，数列 的通项 无限靠近0，数列 的通项 无限靠近1，而数列｛（-1） ^n－1 ｝的通项x _n ＝（-1） ^n－1 则来回摆动，不靠近任何数．

x _n 无限靠近数a，即x _n 与数a的距离｜x _n －a｜无限小．如何描述｜x _n －a｜无限小呢？我们引进一个正数ε，它可以由我们任取，也即ε可以要多小就取多小．若｜x _n －a｜能够比这个ε还小，那它当然就可以无限小了．不过，要记住，“x _n 无限靠近数a”是在“n无限增大”这个过程中实现的，也就是对于给定的正数ε，项数n必须增大到一定程度，比如从某一项开始，｜x _n －a｜才会比ε还小．为此，我们引进如下数列极限的定义．

定义4　设｛x _n ｝为一数列，若存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总可以找到正整数N，使得当n＞N时，不等式｜x _n －a｜＜ε恒成立，则称数列｛x _n ｝收敛于a，或称a是数列｛x _n ｝的极限，记为

或　x _n →a（n→∞）．

如果不存在这样的常数a，则称数列｛x _n ｝没有极限或发散，也称极限 不存在．

注　正数ε必须是可以任意给定的，而正整数N则是根据给定的ε来加以选取的．因此，一般来说，N是与任意正数ε有关的，它随ε的改变而改变．

不等式｜x _n －a｜＜ε等价于x _n ∈（a－ε，a＋ε），因此，若把数a及数列x ₁ ，x ₂ ，…，x _n ，…表示为数轴上的点列，则上述定义（常称为数列极限的“ε-N语言”或“ε-N定义”）的几何意义是，数列｛x _n ｝从第N＋1项对应的点起，后面所有的点x _n 全都要落在开区间（a－ε，a＋ε）内，也即落在点a的ε邻域内．换句话说，若数列｛x _n ｝收敛于a，则不管a的ε邻域多么小，数列｛x _n ｝中最多只有有限个点落在它的外面．

数列极限的定义并未给出求极限的方法，只给出验证数列｛x _n ｝的极限为a的方法，常称为ε-N论证法．其论证步骤为：

（1）对任意给定的正数ε，解绝对值不等式｜x _n －a｜＜ε；

（2）适度放大：｜x _n －a｜＜α（n）＜ε，解出n＞φ（ε）；

（3）取N≥［φ（ε）］，按ε-N定义论述结论．

下面举几个例子说明ε-N论证法中寻找N的方法．

例1　利用定义证明数列极限

证　由于

对于任意给定的正数ε，为使｜x _n －1｜＜ε，只要 即可．为此，取正整数 则当n＞N时，就有｜x _n －1｜＜ε成立．由极限定义知

在利用定义证明数列极限时，以下两个技巧是常用的：

技巧1　对｜x _n －a｜适度放大．由于所寻找的正整数N并不要求是最小的，只要能找到一个合适的N即可．因此，可通过对｜x _n －a｜适度放大，再让其小于ε的办法来简化计算．

例2　利用定义证明数列极限

证　由于

对于任意给定的正数ε，为使｜x _n －2｜ ＜ε，只要 或 即可．为此，取正整数 则当n＞N时，就有｜x _n －2｜＜ε成立．由极限定义知

技巧2　可事先取ε充分小．要保证｜x _n －a｜＜ε，显然正数ε越小就越难做到．因此，只要对于充分小的正数ε都能保证｜x _n －a｜＜ε，则对于任意给定的正数ε，｜x _n －a｜＜ε自然也就满足．

例3　证明数列极限

证　由于

对于任意给定的正数ε，不妨设 为使｜x _n －0｜＜ε，只要 或 即可．取以2为底的对数，得 为此，取正整数 （由于 故 ），则当n＞N时，就有｜x _n －0｜＜ε成立．由极限定义知

注　类似地，可以证明更一般的结论：当0＜｜q｜＜1时，有极限

三、收敛数列的性质

1．唯一性

定理1　若数列｛x _n ｝收敛，则其极限唯一．

证　用反证法．设既有 又有 且a＜b．取 由 知，存在正整数N ₁ ，当n＞N ₁ 时，恒有 由此得

同理，由 存在正整数N ₂ ，当n＞N ₂ 时，恒有 由此得

因此，若取正整数N＝max｛N ₁ ，N ₂ ｝，则当n＞N时， 与 应同时满足，但这是不可能的．定理因此得证．

2．有界性

定理2　收敛数列必定有界．

证　设 取ε＝1，则存在正整数N，当n＞N时，恒有｜x _n －a｜＜1，因而有

｜x _n ｜＝｜（x _n －a）＋a｜≤｜x _n －a｜＋｜a｜＜1＋｜a｜．

取M＝max｛｜x ₁ ｜，｜x ₂ ｜，…，｜x _N ｜，1＋｜a｜｝，则对所有的x _n （n＝1，2，…），均有

｜x _n ｜≤M．

因此，数列｛x _n ｝是有界的．

推论　无界数列必定发散．

注　有界数列未必收敛，发散数列未必无界．例如，数列｛x _n ｝＝｛（-1） ^n－1 ｝是发散的（这一点我们稍后将给出证明），但它却是有界的．

3．保号性

定理3　设数列｛x _n ｝满足 （或＜0），则存在正整数N，当n＞N时，恒有

x _n ＞0　（或＜0）．

证　以a＞0为例．取 由于 存在正整数N，当n＞N时，恒有

从而

由定理3的证明过程，我们还可得到更强的结论．

推论1　若数列｛x _n ｝满足 （或＜0），则存在正整数N，当n＞N时，恒有

推论2　若数列｛x _n ｝满足 且从某一项起有x _n ≥0（或≤0），则a≥0（或≤0）．

推论2的证明应用反证法不难得到，我们把它留给读者．

注　即便是对所有的x _n （n＝1，2，…），x _n ＞0恒成立，也无法保证一定有｛x _n ｝的极限a＞0．例如 但其极限为0．

推论3（保序性）　设数列｛x _n ｝，｛y _n ｝满足 且a＜b，则存在正整数N，当n＞N时，恒有x _n ＜y _n ．

4．子列的收敛性

最后，我们不加证明地给出一个收敛数列与其子列之间的关系定理．

定理4　若数列｛x _n ｝收敛于a，则其任一子列｛x _{n k} ｝也必收敛，且收敛于a．

注1　若数列｛x _n ｝存在两个子列收敛于不同的极限，则此数列必定发散．

应用注1，我们很容易证明数列｛x _n ｝＝｛（-1） ^n－1 ｝发散．事实上，其子列｛x _2n－1 ｝（称为奇子列）收敛于1，而子列｛x _2n ｝（称为偶子列）收敛于-1，因此它是发散的．

注2　可以证明，数列｛x _n ｝收敛于a的充分必要条件是其奇子列｛x _2n－1 ｝与偶子列｛x _2n ｝都收敛于a．

四、收敛数列的运算法则

由定义容易证明数列极限具有下面的运算法则：

定理5　设数列｛x _n ｝，｛y _n ｝满足 则

（1）数列｛x _n ±y _n ｝也收敛，且有

（2）数列｛x _n y _n ｝也收敛，且有

（3）当b≠0时，数列 也收敛，且有

在计算数列的极限时，应用上述运算法则常常是比较方便的．另外，注意到 由定理5易知，对任意的正整数k及常数C，有

例4　求下列数列极限：

（1）

（2）

（3）

解　（1）

（2）

（3）这是无穷多项之和的极限，应先求和，再求极限．

习题　1.2

1．用定义证明下列数列极限：

（1）

（2）

2．设｜q｜＜1，S _n ＝1＋q＋q ² ＋…＋q ^n－1 （n＝1，2，…），证明数列极限

3．设数列｛x _n ｝有界，数列｛y _n ｝满足 证明

4．设数列｛x _n ｝收敛，数列｛y _n ｝发散，问：数列｛x _n ＋y _n ｝收敛还是发散？数列｛x _n －y _n ｝呢？证明你的结论．

5．（1）有界数列是否一定收敛？

（2）收敛数列是否一定有界？

（3）发散数列是否一定无界？

6．求下列数列极限：

（1）

（2）

（3）

7．证明数列｛x _n ｝＝｛cosnπ｝发散． ckBfo5MLciTYX2de01JBijokEEcmEgOtRCMcqCHl3wvh41FMISRBwRNW9WrKtP/N