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按照正整数顺序排列的无穷多个数
x 1 ，x 2 ，…，x n ，…
称为数列，简记为｛x n ｝．数列中的每一个数称为数列的项，第n项x n 称为数列的通项或一般项．例如，数列
它们的通项依次为
数列可以视为以正整数n为自变量的函数x n ＝f（n）（n＝1，2，…）按f（1），f（2），…，f（n），…排列起来．若把数列｛x n ｝中的每一项在数轴上表示出来，就得到数轴上的一个点列．
定义1 设有数列｛x n ｝，若存在正数M，使得对于所有的x n （n＝1，2，…），都有
｜x n ｜≤M，
则称数列｛x n ｝是有界的；反之，则称数列｛x n ｝是无界的．
显然，数列
是有界的，而数列｛x
n
｝＝｛2
n－1
｝是无界的．
从几何上看，当数列｛x n ｝有界时，则存在正数M，使得-M≤x n ≤M，从而｛x n ｝的点列全都落在闭区间［-M，M］上；反之，若一个数列的点列全都落在一个闭区间［-M，M］上，则这个数列必定是有界的．
若存在实数M 1 ，使得对于所有的x n （n＝1，2，…），都有
x n ≤M 1 ，
则称数列｛x n ｝是有上界的，数M 1 称为数列｛x n ｝的一个上界；类似地，若存在实数M 2 ，使得对于所有的x n （n＝1，2，…），都有
x n ≥M 2 ，
则称数列｛x n ｝是有下界的，数M 2 称为数列｛x n ｝的一个下界．
易知，若数列｛x n ｝是有上（下）界的，则必有无穷多个上（下）界；一个数列有界，其充分必要的条件是它既有上界又有下界．
定义2 如果数列｛x n ｝满足条件
x 1 ≤x 2 ≤x 3 ≤…≤x n ≤x n＋1 ≤…，
则称数列｛x n ｝是单调增加的；如果数列｛x n ｝满足条件
x 1 ≥x 2 ≥x 3 ≥…≥x n ≥x n＋1 ≥…，
则称数列｛x n ｝是单调减少的．单调增加与单调减少的数列统称为单调数列．
定义3 在数列｛x n ｝中任意抽取无穷多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的数列称为数列｛x n ｝的子数列，简称为子列，记为｛x n k ｝．
显然，子列｛x n k ｝中的第一项x n 1 在原数列｛x n ｝中是第n 1 项，且n 1 ≥1；子列｛x n k ｝中的第二项x n 2 在原数列｛x n ｝中是第n 2 项，且n 2 ≥2；一般地，子列｛x n k ｝中的第k项x n k 在原数列｛x n ｝中是第n k 项，且n k ≥k．
对于给定的数列｛x n ｝，我们感兴趣的是，当项数n无限增大时，其对应的项x n ＝f（n）是否会无限地靠近某一个数a．
通过观察，我们发现当n无限增大时，数列
的通项
无限靠近0，数列
的通项
无限靠近1，而数列｛（-1）
n－1
｝的通项x
n
＝（-1）
n－1
则来回摆动，不靠近任何数．
x n 无限靠近数a，即x n 与数a的距离｜x n －a｜无限小．如何描述｜x n －a｜无限小呢？我们引进一个正数ε，它可以由我们任取，也即ε可以要多小就取多小．若｜x n －a｜能够比这个ε还小，那它当然就可以无限小了．不过，要记住，“x n 无限靠近数a”是在“n无限增大”这个过程中实现的，也就是对于给定的正数ε，项数n必须增大到一定程度，比如从某一项开始，｜x n －a｜才会比ε还小．为此，我们引进如下数列极限的定义．
定义4 设｛x n ｝为一数列，若存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总可以找到正整数N，使得当n＞N时，不等式｜x n －a｜＜ε恒成立，则称数列｛x n ｝收敛于a，或称a是数列｛x n ｝的极限，记为
或 x
n
→a（n→∞）．
如果不存在这样的常数a，则称数列｛x
n
｝没有极限或发散，也称极限
不存在．
注 正数ε必须是可以任意给定的，而正整数N则是根据给定的ε来加以选取的．因此，一般来说，N是与任意正数ε有关的，它随ε的改变而改变．
不等式｜x n －a｜＜ε等价于x n ∈（a－ε，a＋ε），因此，若把数a及数列x 1 ，x 2 ，…，x n ，…表示为数轴上的点列，则上述定义（常称为数列极限的“ε-N语言”或“ε-N定义”）的几何意义是，数列｛x n ｝从第N＋1项对应的点起，后面所有的点x n 全都要落在开区间（a－ε，a＋ε）内，也即落在点a的ε邻域内．换句话说，若数列｛x n ｝收敛于a，则不管a的ε邻域多么小，数列｛x n ｝中最多只有有限个点落在它的外面．
数列极限的定义并未给出求极限的方法，只给出验证数列｛x n ｝的极限为a的方法，常称为ε-N论证法．其论证步骤为：
（1）对任意给定的正数ε，解绝对值不等式｜x n －a｜＜ε；
（2）适度放大：｜x n －a｜＜α（n）＜ε，解出n＞φ（ε）；
（3）取N≥［φ（ε）］，按ε-N定义论述结论．
下面举几个例子说明ε-N论证法中寻找N的方法．
例1 利用定义证明数列极限
证 由于
对于任意给定的正数ε，为使｜x
n
－1｜＜ε，只要
即可．为此，取正整数
则当n＞N时，就有｜x
n
－1｜＜ε成立．由极限定义知
在利用定义证明数列极限时，以下两个技巧是常用的：
技巧1 对｜x n －a｜适度放大．由于所寻找的正整数N并不要求是最小的，只要能找到一个合适的N即可．因此，可通过对｜x n －a｜适度放大，再让其小于ε的办法来简化计算．
例2 利用定义证明数列极限
证 由于
对于任意给定的正数ε，为使｜x
n
－2｜ ＜ε，只要
或
即可．为此，取正整数
则当n＞N时，就有｜x
n
－2｜＜ε成立．由极限定义知
技巧2 可事先取ε充分小．要保证｜x n －a｜＜ε，显然正数ε越小就越难做到．因此，只要对于充分小的正数ε都能保证｜x n －a｜＜ε，则对于任意给定的正数ε，｜x n －a｜＜ε自然也就满足．
例3 证明数列极限
证 由于
对于任意给定的正数ε，不妨设
为使｜x
n
－0｜＜ε，只要
或
即可．取以2为底的对数，得
为此，取正整数
（由于
故
），则当n＞N时，就有｜x
n
－0｜＜ε成立．由极限定义知
注 类似地，可以证明更一般的结论：当0＜｜q｜＜1时，有极限
定理1 若数列｛x n ｝收敛，则其极限唯一．
证 用反证法．设既有
又有
且a＜b．取
由
知，存在正整数N
1
，当n＞N
1
时，恒有
由此得
同理，由
存在正整数N
2
，当n＞N
2
时，恒有
由此得
因此，若取正整数N＝max｛N
1
，N
2
｝，则当n＞N时，
与
应同时满足，但这是不可能的．定理因此得证．
定理2 收敛数列必定有界．
证 设
取ε＝1，则存在正整数N，当n＞N时，恒有｜x
n
－a｜＜1，因而有
｜x n ｜＝｜（x n －a）＋a｜≤｜x n －a｜＋｜a｜＜1＋｜a｜．
取M＝max｛｜x 1 ｜，｜x 2 ｜，…，｜x N ｜，1＋｜a｜｝，则对所有的x n （n＝1，2，…），均有
｜x n ｜≤M．
因此，数列｛x n ｝是有界的．
推论 无界数列必定发散．
注 有界数列未必收敛，发散数列未必无界．例如，数列｛x n ｝＝｛（-1） n－1 ｝是发散的（这一点我们稍后将给出证明），但它却是有界的．
定理3 设数列｛x
n
｝满足
（或＜0），则存在正整数N，当n＞N时，恒有
x n ＞0 （或＜0）．
证 以a＞0为例．取
由于
存在正整数N，当n＞N时，恒有
从而
由定理3的证明过程，我们还可得到更强的结论．
推论1 若数列｛x
n
｝满足
（或＜0），则存在正整数N，当n＞N时，恒有
推论2 若数列｛x
n
｝满足
且从某一项起有x
n
≥0（或≤0），则a≥0（或≤0）．
推论2的证明应用反证法不难得到，我们把它留给读者．
注 即便是对所有的x
n
（n＝1，2，…），x
n
＞0恒成立，也无法保证一定有｛x
n
｝的极限a＞0．例如
但其极限为0．
推论3（保序性） 设数列｛x
n
｝，｛y
n
｝满足
且a＜b，则存在正整数N，当n＞N时，恒有x
n
＜y
n
．
最后，我们不加证明地给出一个收敛数列与其子列之间的关系定理．
定理4 若数列｛x n ｝收敛于a，则其任一子列｛x n k ｝也必收敛，且收敛于a．
注1 若数列｛x n ｝存在两个子列收敛于不同的极限，则此数列必定发散．
应用注1，我们很容易证明数列｛x n ｝＝｛（-1） n－1 ｝发散．事实上，其子列｛x 2n－1 ｝（称为奇子列）收敛于1，而子列｛x 2n ｝（称为偶子列）收敛于-1，因此它是发散的．
注2 可以证明，数列｛x n ｝收敛于a的充分必要条件是其奇子列｛x 2n－1 ｝与偶子列｛x 2n ｝都收敛于a．
由定义容易证明数列极限具有下面的运算法则：
定理5 设数列｛x
n
｝，｛y
n
｝满足
则
（1）数列｛x n ±y n ｝也收敛，且有
（2）数列｛x n y n ｝也收敛，且有
（3）当b≠0时，数列
也收敛，且有
在计算数列的极限时，应用上述运算法则常常是比较方便的．另外，注意到
由定理5易知，对任意的正整数k及常数C，有
例4 求下列数列极限：
（1）
（2）
（3）
解 （1）
（2）
（3）这是无穷多项之和的极限，应先求和，再求极限．
1．用定义证明下列数列极限：
（1）
（2）
2．设｜q｜＜1，S
n
＝1＋q＋q
2
＋…＋q
n－1
（n＝1，2，…），证明数列极限
3．设数列｛x
n
｝有界，数列｛y
n
｝满足
证明
4．设数列｛x n ｝收敛，数列｛y n ｝发散，问：数列｛x n ＋y n ｝收敛还是发散？数列｛x n －y n ｝呢？证明你的结论．
5．（1）有界数列是否一定收敛？
（2）收敛数列是否一定有界？
（3）发散数列是否一定无界？
6．求下列数列极限：
（1）
（2）
（3）
7．证明数列｛x n ｝＝｛cosnπ｝发散．