§1.1　初等函数

一、邻域

由于集合、数集、映射等知识在中学已有接触，因此我们在这里着重介绍邻域的概念．

邻域　以点a为中心的开区间（a－δ，a＋δ）（δ＞0）称为点a的δ邻域，记做U（a，δ），其中点a称为该邻域的中心，δ称为该邻域的半径．

显然U（a，δ）表示与点a的距离小于δ的点的集合，即

U（a，δ）＝｛x｜｜x－a｜＜δ｝．

当无需强调邻域的半径时，我们常用记号U（a）表示以点a为中心的某个开区间，称为点a的邻域．

去心邻域　点a的δ邻域去掉中心a后，称为点a的去心δ邻域，记做U（a，δ），即

Ů（a，δ）＝｛x｜0＜｜x－a｜＜δ｝．

另外，开区间（a－δ，a）称为点a的左δ邻域，而开区间（a，a＋δ）称为点a的右δ邻域．

二、两个常用不等式

我们不加证明地介绍两个简单而又常用的不等式．

三角不等式　对于任意的实数a和b，都有

｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜．

平均值不等式　对于任意n个正数a ₁ ，a ₂ ，…，a _n ，恒有

其中等号当且仅当a ₁ ，a ₂ ，…，a _n 全部相等时才成立．

上述平均值不等式中，左边的式子称为a ₁ ，a ₂ ，…，a _n 的几何平均，右边的式子称为a ₁ ，a ₂ ，…，a _n 的算术平均．因此，正数的几何平均小于或等于算术平均．

三、函数

1．函数概念

定义1　设D是实数域R上的非空数集，若存在某一确定的法则f，使得对于每一个x∈D，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应法则f为定义在实数集D上的一元函数（简称函数），记做

y＝f（x），x∈D，

其中x称为函数f的自变量，y称为函数f的因变量，D称为函数f的定义域（通常记为D _f ），与x对应的值y＝f（x）称为函数f在x处的函数值，函数值的全体构成的集合称为函数f的值域（通常记为R _f 或f（D））．

定义1中的“唯一确定”表明所讨论的函数是单值的．除非特别说明，本课程不讨论多值函数．另外，表示函数的记号除了常用的f外，还可用任何其他的字母，有时甚至就用y＝y（x）来表示一个函数．

确定一个函数的因素有三个：定义域，对应法则及值域．函数的定义域通常由自然定义域或实际定义域决定．自然定义域指的是使函数抽象算式有意义的自变量取值范围，而实际定义域则指由问题的实际背景所限定的自变量取值范围．显然，两个函数相等，当且仅当它们的定义域和对应法则都相同．

在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标，以对应的函数值y＝f（x）为纵坐标，就得到平面上一个点，这种点全体构成的点集称为函数y＝f（x）的图形．

函数的表示法主要有三种：解析法（公式法）、图示法和表格法．用解析法表示函数时，有一些函数无法用一个统一的表达式表示，必须根据自变量的不同取值而采用多个表达式．这类函数称为分段函数，在本课程学习中尤应引起重视．

下面举几个例子．

例1　绝对值函数

例2　符号函数

例3　取整函数y＝［x］，其中记号［x］表示不超过x的最大整数（如图1-1）．

例4　狄利克雷（Dirichlet）函数

图　1-1

例5　设函数

求f（1＋∆x）－f（1）．

解　易得f（1）＝1．

当∆x＜0时，f（1＋∆x）＝（1＋∆x） ² ，则

f（1＋∆x）－f（1）＝2∆x＋（∆x） ² ；

当∆x＞0时，f（1＋∆x）＝2（1＋∆x）－1，则

f（1＋∆x）－f（1）＝2∆x．

因此

例6　设 求函数f（x）的表达式及其定义域．

解　因 令t＝sinx，则 改写为

为使 有意义，应有1－2x ² ≥0．由此解得 所以函数f（x）的定义域为

2．函数的一些性质

2.1　有界性

设函数f（x）在数集D上有定义，若存在正数M，使得对任何x∈D，都有

｜f（x）｜≤M，

则称函数f（x）在数集D上有界，或称f（x）是D上的有界函数；否则称函数f（x）在数集D上无界，或称f（x）是D上的无界函数．也就是说，若f（x）是D上的无界函数，则不管事先给定的正数M多么大，总存在一个x ₀ ∈D，使得｜f（x ₀ ）｜＞M．

例如，函数y＝sinx在（-∞，+∞）内有界，而函数y＝2x＋1在任何有限区间内都是有界的，但在（-∞，+∞）内却无界．

2.2　单调性

设函数f（x）在区间I上有定义，对任意的x ₁ ，x ₂ ∈I，若当x ₁ ＜x ₂ 时，有f（x ₁ ）＜f（x ₂ ），则称函数f（x）在区间I上单调增加（或递增）；若当x ₁ ＜x ₂ 时，有f（x ₁ ）＞f（x ₂ ），则称函数f（x）在区间I上单调减少（或递减）．单调增加的函数和单调减少的函数统称为单调函数，而相应的区间I统称为单调区间．

例如，函数y＝x ² 在（-∞，0）内单调减少，而在（0，+∞）内单调增加．

2.3　奇偶性

设函数f（x）的定义域D关于原点对称，若对于任意的x∈D，都有f（-x）＝f（x），则称函数f（x）为偶函数；若恒有f（-x）＝-f（x），则称函数f（x）为奇函数．

例如，函数y＝cosx是偶函数，而函数y＝x ³ 是奇函数．

易知，偶函数的图形关于y轴对称，而奇函数的图形关于原点对称．

例7　判定下列函数的奇偶性：

（1）

（2）F（x）＝sinf（x），其中f（x）为偶函数．

解　（1）因为

所以f（x）为奇函数．

（2）因f（x）为偶函数，故f（-x）＝f（x），从而有

F（-x）＝sinf（-x）＝sinf（-x）＝F（x）．

所以F（x）为偶函数．

2.4　周期性

设函数f（x）的定义域为D，若存在一个正数T＞0，使得对于任意的x∈D，必有x±T∈D，且有

f（x±T）＝f（x），

则称函数f（x）为周期函数，并称T为f（x）的周期．

显然，一个周期函数有无穷多个周期，因为若T是f（x）的一个周期，则kT（k为任一正整数）也是f（x）的周期．以后周期函数的周期通常指它的最小正周期．需要注意的是，并非每个周期函数都有最小正周期．例如，对于常值函数f（x）＝0，任何一个正数都是它的周期；又如，对于例4中的狄利克雷函数，任何一个正有理数都是它的周期．

在科学与工程中所研究的许多现象都呈现出明显的周期特征，如电流和电压是周期的，家用微波炉中的电磁场是周期的，季节和气候以及天体的运动也是周期的，因此周期函数的应用非常广泛．

3．反函数

定义2　设函数y＝f（x）的定义域为D，值域为R，若对于每一个y∈R，都有唯一确定的x∈D与之对应，使得f（x）＝y，则在R上定义了一个函数，称它为函数y＝f（x）的反函数，记为

x＝f ^-1 （y），y∈R．

显然，函数y＝f（x）（x∈D _f ）与x＝f ^-1 （y）（y∈R _f ）互为反函数．易知

f ^-1 （f（x））＝x（x∈D _f ），f（f ^-1 （y））＝y（y∈R _f ）．

由于函数的本质是其对应规律，因此习惯上我们选用x作为自变量，而把函数y＝f（x）（x∈D _f ）的反函数记为y＝f ^-1 （x）（x∈R _f ）．另外，相对于反函数，我们常常把y＝f（x）称为直接函数．

在同一平面直角坐标系中，函数y＝f（x）与其反函数y＝f ^-1 （x）的图形关于直线y＝x对称．

何时一个函数存在反函数呢？我们有如下反函数存在定理．

定理　设函数y＝f（x）在区间D上单调增加（或减少），则函数y＝f（x）存在反函数，且反函数x＝f ^-1 （y）在R＝f（D）上也单调增加（或减少）．

中学时已经学习了反三角函数，它们有一个主值区间，这个主值区间就是为了保证三角函数的单调性，从而确保了反三角函数存在．类似的，函数y＝x ² 在整个定义域（-∞，+∞）上并不是单调的．当限制在（0，+∞）时，它就是单调增加的，因而有反函数 而限制在（-∞，0）时，它也是单调减少的，此时它有反函数

例8　求函数 的反函数．

解　记u＝e ^x ，则 由此得u ² －2yu－1＝0，解得

因u＞0，故上式中应取正号，于是 即

故得 或改写为

这就是函数 的反函数．

4．复合函数

定义3　设函数y＝f（u）的定义域为D ₁ ，函数u＝φ（x）的定义域为D，且值域φ（D）⊂D ₁ ，则称函数y＝f（φ（x））为函数y＝f（u）与u＝φ（x）复合而成的复合函数，其定义域为D，变量u称为中间变量．

例9　设函数 求复合函数f（φ（x））与φ（f（x））及其定义域．

解　复合函数 其定义域为［0，+∞）．

复合函数 为使其有意义，必须1－e ^x ≥0．由此得x≤0．因此复合函数 的定义域为（-∞，0］．

例10　设函数 求复合函数f（φ（x））与φ（f（x））及其定义域．

解　当-1＜x＜0时，φ（x）＜0，因而f（φ（x））＝φ（x）＝ln（1＋x）；

当x≥0时，φ（x）≥0，因而f（φ（x））＝e ^φ（x） ＝e ^{ln（1＋x）} ＝1＋x．

因此复合函数 其定义域为（-1，+∞）．

当-1＜x＜0时，f（x）＝x，所以φ（f（x））＝φ（x）＝ln（1＋x）；

当x≥0时，f（x）＝e ^x ，所以φ（f（x））＝φ（e ^x ）＝ln（1＋e ^x ）．

因此复合函数 其定义域也是（-1，+∞）．

值得说明的是，并不是任意两个函数都能构成复合函数．例如， 就构不成复合函数f（φ（x））．

两个函数在一定条件下可以构成复合函数，多个函数也可以构成复合函数，只要它们顺次满足构成复合函数的条件．

我们不仅要懂得把几个函数复合成复合函数，还应善于把一个比较复杂的函数分解为几个相对简单的函数的复合．

例11　试把函数y＝e ^{2sinx 2} 分解为几个简单函数的复合．

解　函数y＝e ^{2sinx 2} 可以看成是由y＝e ^u ，u＝2sinv，v＝x ² 复合而成的复合函数．

5．函数的运算

函数可以作四则运算．

设有两个函数y＝f（x）（x∈D ₁ ），y＝g（x）（x∈D ₂ ），且D＝D ₁ ∩D ₂ ≠⌀，则可以定义它们的和、差、积、商运算如下：

（f±g）（x）＝f（x）±g（x），x∈D；（f·g）（x）＝f（x）g（x），x∈D；

例12　设函数 求f（x）＋g（x）．

解

四、初等函数

1．基本初等函数

我们把中学已经学过的以下五类基本函数称为基本初等函数：

（1）幂函数：y＝x ^μ （μ∈R为常数）．

（2）指数函数：y＝a ^x （a＞0且a≠1）．

（3）对数函数：y＝log _a x（a＞0且a≠1）．当a＝e时，称之为自然对数函数，记为y＝lnx．

（4）三角函数：y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，y＝cotx，y＝secx，y＝cscx等．

（5）反三角函数：y＝arcsinx，y＝arccosx，y＝arctanx等．为了保证反三角函数的单值性，我们还规定了反三角函数的相应主值区间．例如，y＝arcsinx的主值区间为

2．初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如， 都是初等函数．需要指出的是，分段函数一般不是初等函数．但是分段函数 可表为 因而它仍为初等函数．

本课程研究的函数，主要是初等函数．

例13　设 u（x）（u（x）＞0）与v（x）是两个初等函数，问：u（x） ^v（x） 是否是初等函数？

解　u（x） ^v（x） 可以表示为u（x） ^v（x） ＝e ^{v（x）lnu（x）} ，它可以视为由y＝e ^w ，w＝v（x）s，s＝lnt，t＝u（x）复合而成的，因而它是初等函数．

形如u（x） ^v（x） 的函数通常称为幂指函数．

3．双曲函数与反双曲函数

我们还要介绍一类工程技术上应用十分广泛的函数，它们由y＝e ^x 与y＝e ^-x 组合而成，且具有许多与三角函数相似的性质，如平方关系式、和差倍半公式等．这类函数被称为双曲函数，具体定义如下：

双曲正弦函数：

双曲余弦函数：

双曲正切函数：

易知，这些双曲函数的定义域都是（-∞，+∞）．双曲正弦与双曲正切是奇函数，而双曲余弦是偶函数．它们满足下列公式：

（1）平方关系式：ch ² x－sh ² x＝1；

（2）倍角公式：sh2x＝2shxchx，ch2x＝ch ² x＋sh ² x；

（3）两角和（差）公式：sh（x±y）＝shxchy±chxshy，ch（x±y）＝chxchy±shxshy．

双曲函数的反函数分别记为：反双曲正弦y＝arshx，反双曲余弦y＝archx，反双曲正切y＝arthx．不难证明：

习题　1.1

1．求下列函数的定义域：

（1）

（2）

（3）

（4）

2．判断下列函数的奇偶性：

（1）y＝x ² ＋cos2x；

（2）y＝｜sinx｜；

（3）

（4）y＝x ⁴ ＋x．

3．证明函数 在（-1，+∞）内单调增加．

4．下列函数中哪些是周期函数？哪些是非周期函数？若是周期函数，指出其周期．

（1）y＝xsinx；

（2）

5．函数 在其定义域内是（　　）．

（A）无界函数

（B）偶函数

（C）单调函数

（D）周期函数

6．求下列函数的反函数：

（1）

（2）

7．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？

（1）

（2）y＝e ^{3arcsin（2x＋1）} ．

8．设函数 g（x）＝2x＋1，则f（g（x））＝．

9．设 则函数f（x）＝． 1gpJ6cy5LMuCsDYcIRKJwza9Nf8etgruV0YGhZi4wk6NPyZtXdFFZBXAtK3Tl0EE