§1.7　无穷小比较

一、无穷小比较的概念

我们知道，无穷小是以零为极限的量，也就是说，在其自变量的某一变化过程中，它会无限地趋于0．我们感兴趣的问题是，在自变量同一变化过程中的两个无穷小，它们趋于0的速度快慢是否一定相同或者大致相同．例如，显然，当x→0时，2x，x ² ，sinx与x一样，都是无穷小，但是

可见，x ² 比x趋于零的速度快很多，sinx和x趋于零的速度则差不多，而2x和x趋于零的速度有差异，但处在同一个级别．为了更精细地研究无穷小的性状，我们引入以下定义：

定义　设α（x）和β（x）都是在自变量x的同一变化过程中的无穷小，“lim”表示这一变化过程的极限．

（1）若极限 则称β是比α高阶的无穷小，记做β＝ο（α）．

（2）若极限 则称β是比α低阶的无穷小．

（3）若极限 则称β与α是同阶无穷小．特别地，若c＝1，则称β与α是等价无穷小，记做α～β．

（4）若极限 则称β是α的k阶无穷小．

在前述例子中，当x→0时，x是比x ² 低阶的无穷小；x ² 是比x高阶的无穷小，即x ² ＝ο（x），或更精细些，x ² 是x的二阶无穷小；2x与x是同阶无穷小；sinx与x则是等价无穷小，即sinx～x．显然，在自变量的某一变化过程中，若α是比β高阶的无穷小，则β是比α低阶的无穷小．

注　由§1.5例7的方法及§1.6的例题可得以下几个常用的等价无穷小，读者务必熟记：当x→0时，有

后面还将陆续推出一些常用的等价无穷小．

例1　证明：当x→0时，x（1－cosx）sin ³ x是x ² 的三阶无穷小．

证　显然，当x→0时，x ² ，x（1－cosx）sin ³ x均为无穷小．因为

所以，当x→0时，x（1－cosx）sin ³ x是x ² 的三阶无穷小．

二、等价无穷小替代定理

等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，它在极限计算中有重要的意义．我们有如下的等价无穷小替代定理：

定理　设在自变量的某个变化过程中，α～ ，β～ ，且极限 存在，则

证

该定理说明，求两个无穷小之比的极限时，分子、分母可分别用它们的等价无穷小替代，从而简化计算．

例2　求极限

解　由当x→0时，sinx～x，tanx～x知，此时sin3x～3x，tan2x～2x，所以

例3　求极限

解　当x→0时，sin2x～2x，所以

注　应用等价无穷小替代的原则是：乘除可用，加减慎用．也就是说，求两无穷小相乘或相除的极限时，可以分别用它们的等价无穷小替代；但是，当出现两个无穷小相加或相减时，若分别用它们的等价无穷小替代来求极限，就有可能导致错误的结论，因此应慎用．请看下面的例子．

例4　求极限

错误解法　当x→0时，tanx～x，sinx～x，所以

正确解法　因为 而当x→0时，有

所以

习题　1.7

1．当x→0时，下列各无穷小是x的几阶无穷小？

（1）x ² ＋sinx；

（2）

（3）cos2x ² －1．

2．当x→1时，f（x）＝1－x ² 与g（x）＝xsin（x－1）相比较是（　　）的无穷小．

（A）等价

（B）同阶非等价

（C）高阶

（D）低阶

3．利用等价无穷小的性质求下列极限：

（1）

（2）

（3）

（4） 2vT5L3nEsmauBEKDbgxT7h/Vm2dTS1e8kua5SkUZ7/zxN1CrPD2Viv6Quzv0ciNB