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商高是我国古代的数学家。关于他的生平,历史上的记载很少。他是春秋时周朝人,大约生活于公元前12世纪。商高的数学成就主要是勾股定理和测量术。
中国古代最早的数学和天文学著作《周髀算经》上记载了一段周公与商高的对话。周公问:“窃闻乎大夫善数也,请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”商高答:“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出九九八十一,故折矩以为勾广三,股修四,径隅五。既方其外,半之一矩,环而共盘。得成三、四、五,两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所由生也。”这是有名的“周公问数”。这段对话用我们今天的话解释是这样的:周公问商高:古代时伏羲是怎样测量天文和历法的?天没有可攀的台阶,地又不能用尺去测量,这些数是从哪儿得出来的呢?商高回答:数是根据圆形和方形的数学道理计算出来的。圆来自于方,而方来自于直角三角形。直角三角形是根据乘除法的计算得出来的。将一条线段折三段围成直角三角形,一直角边(勾)为三,另一直角边(股)为四,则斜边(弦)为五。商高的证明是用右边的图来解释的。利用直角三角形三边的三、四、五的关系可知:方盘面积为49,而四个阴影的三角形的面积之和为24,因此正方形BDLH的面积为49-24＝25,这种证明方法比欧几里得的几何原本中的证明更简明易懂。
周公曾是周武王的弟弟,他辅佐周武王的儿子执政。商高是贤才中杰出的人物之一,是周公的朋友。周公十分重视发展科学技术,虚心向商高学习科学知识。他曾请教商高用矩之道(矩:是由长与短两条带有刻度的直尺,一端相交成直角相连而成的),商高用六句话简要地概括了这一方法:“平矩以正绳,偃矩以望高,履矩以测深,卧矩以知远,环矩以为圆,合矩以为方。”这就是说:把矩放平了可以测定水平和铅直方向;把矩立起来,能够测量高度;把矩反过来倒竖可测深度;把矩平放可以测定水平距离;将矩环转一周,可得圆形;将两矩合起来可得到方形。
商高利用矩作为测量工作,运用相似三角形的原理“测天量地”,把测量学上升到理论,为后来的数学家推广复杂的“测望术”奠定了坚实的基础。
勾股弦的关系和用矩之道是商高的主要成就,商高的年代离我们虽然遥远,但他的科学创见却永远为后人纪念,他是世界上第一位被记载在史册上的数学家。