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｛﹁，∧｝、｛﹁，∨｝都是逻辑联词的完备集，所以含有逻辑联词﹁，∧，∨，→，↔，
，↦，↑和↓的命题公式都可以等值转化为只含逻辑联词﹁，∨和∧的命题公式。在只含逻辑联词﹁，∧与∨的命题公式G中，以∨换∧，以∧换∨，如果还含有抽象恒真符号T和抽象恒假符号F的话，并且以F换T，以T换F，以此由G得到的新命题公式G
*
称为G的对偶式，对于G
*
，G也是它的对偶式。于是有：（G
*
）
*
＝G。
﹁（P∨Q）的对偶式是﹁（P∧Q），反之也对。因此亦可直接把↓和↑也看作一对对偶的逻辑联词，正像∧与∨一样。
一个仅含逻辑联词﹁，∧和∨的命题公式和它的对偶式之间具有以下等值关系：
对偶定律1：设A（P 1 ，P 2 ，…，P n ）是仅含逻辑联词﹁，∧与∨及仅含命题变元P 1 ，P 2 ，…，P n 的命题公式，则：
﹁A（P 1 ，P 2 ，…，P n ）＝A * （﹁P 1 ，﹁P 2 ，…，﹁P n ）
由于命题公式A（P 1 ，P 2 ，…，P n ）中只含有逻辑联词﹁，∧，∨和命题变元P 1 ，P 2 ，…，P n （也可能含有T和F），并且在A * （﹁P 1 ，﹁P 2 ，…，﹁P n ）中不对可能含有的T和F取“非”。
注意：
（1）（P） * ＝P，（﹁P） * ＝﹁P，（﹁﹁P） * ＝﹁﹁P及﹁（P）＝（﹁P） * ，﹁（﹁P）＝（﹁（﹁P）） * ；
（2）（T） * ＝F，（F） * ＝T及﹁（T）＝（T） * ，﹁（F）＝（F） * ；
（3）（P∧Q） * ＝P∨Q，（P∨Q） * ＝P∧Q及﹁（P∧Q）＝（﹁P∧﹁Q） * ，﹁（P∨Q）＝（﹁P∨﹁Q） *
由归纳法易知，对偶定律1所述结论成立。
将对偶定律1用于A * （P 1 ，P 2 ，…，P n ），便得到它的推论：
﹁A * （P 1 ，P 2 ，…，P n ）＝（A * ） * （﹁P 1 ，﹁P 2 ，…，﹁P n ）＝A（﹁P 1 ，﹁P 2 ，…，﹁P n ）
关于对偶性，一个更为重要的事实是：
对偶定律2：设A（P 1 ，P 2 ，…，P n ），B（P 1 ，P 2 ，…，P n ）是仅含有逻辑联词﹁，∨，∧和命题变元P 1 ，P 2 ，…，P n 的命题公式，则如果A（P 1 ，P 2 ，…，P n ）＝B（P 1 ，P 2 ，…，P n ），那么A * （P 1 ，P 2 ，…，P n ）＝B * （P 1 ，P 2 ，…，P n ）。
事实上，若A（P 1 ，P 2 ，…，P n ）＝B（P 1 ，P 2 ，…，P n ），则A（P 1 ，P 2 ，…，P n ）↔B（P 1 ，P 2 ，…，P n ）是重言式，由代入原理，可知A（﹁P 1 ，﹁P 2 ，…，﹁P n ）↔B（﹁P 1 ，﹁P 2 ，…，﹁P n ）也是重言式。但A（﹁P 1 ，﹁P 2 ，…，﹁P n ）＝﹁A * （P 1 ，P 2 ，…，P n ），B（﹁P 1 ，﹁P 2 ，…，﹁P n ）＝﹁B * （P 1 ，P 2 ，…，P n ），由替换原理，得重言式﹁A * （P 1 ，P 2 ，…，P n ）↔﹁B * （P 1 ，P 2 ，…，P n ），即﹁A * （P 1 ，P 2 ，…，P n ）＝﹁B * （P 1 ，P 2 ，…，P n ），于是有A * （P 1 ，P 2 ，…，P n ）＝﹁（﹁A * （P 1 ，P 2 ，…，P n ））＝﹁（﹁B * （P 1 ，P 2 ，…，P n ））＝B * （P 1 ，P 2 ，…，P n ）。
在用于逻辑演算的12组基本等值式中，从第2组到第9组的等值式都是成对给出的，这一对对公式所阐述的正是对偶定律2。在逻辑推理中，被证明的命题公式之间等值的结论，通过必要的联词转化，使用对偶定律2，可以得到它们的对偶式之间也等值的结论。在对双条件重言命题的证明中，对偶定律2有事半功倍的效用。
练习1-7
（1）写出下列命题公式的对偶式：
①（P∧Q）∨T； ②﹁（P∨Q）∧（P∨﹁（Q∧﹁R））；
③﹁（P∨F）∧R； ④（（P↑Q）↓R）∧（﹁P∨Q）。
（2）由命题公式A（P，Q，R）＝﹁P∨﹁（Q∧R），验证对偶定律1。
（3）首先证明下面的式（1），然后用运对偶定律2证明（2）式：
①﹁（P∧Q）→（P→（P→Q）＝﹁P∨Q；
②（P∨Q）∧（﹁P∧（﹁P∧Q））＝﹁P∧Q。
（4）有没有这样的命题公式G，满足G * ＝G？
（5）填空：
①设A（P，Q，R）＝（P∨Q）∧﹁R，则A * （﹁P，﹁Q，﹁R）＝________；
②设A * （P，Q，R）＝P↓（Q∨﹁（P↑R）），则﹁A（﹁P，﹁Q，﹁R）＝________。
