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永真公式称重言式，永假公式称矛盾式，不是矛盾式的命题公式称可满足式。命题逻辑中数量无限的命题形式仅此而已。重言式是我们特别感兴趣的，因为它反映的是命题逻辑中的逻辑规律。例如重言式的合取式还是重言式。命题公式G是重言式，无论它所含的命题变元指真还是指假，G都取真值T。因此，在G中，将其所含某变元都以同一命题公式作代入，所得的命题公式G′还是重言式。换句话说，决定命题公式是重言式的是命题公式自己的形式结构，而不是它含有多少或怎样的命题变元。如，P∨﹁P是重言式；（（Q∨R）→S）∨﹁（（Q∨R）→S）一样还是重言式。因为“～∨﹁～”的形式结构是重言式形式结构。P∨﹁P所反映的逻辑规律即排中律。
命题公式A与B等值，在它们所含命题变元的任何指派下，A与B都有相同的真值，于是由A和B构成的双条件命题A↔B是重言式；反过来，若A↔B是重言式，则在对A、B所含命题变元的所有指派下，A、B的真值取值都相同，从而A＝B。可见A与B等值，当且仅当A↔B是重言式。
一个类似的讨论是：A→B是重言式，当且仅当A⇒B。这里A⇒B读作A蕴涵B。A蕴涵B，当且仅当A→B是重言式，即当且仅当A取真值T时，B必取真值T；或者当且仅当B取值F时，A必取值F。这样分析的重要性在于：它依此可以作为证明一个命题公式蕴涵另一个命题公式的方法。
例如对（1）P⇒P∨Q；（2）P∧Q⇒P的证明，就可以这样做：
（1）当前件P取真值T时，则后件P∨Q＝T∨Q也必取真值T。因而，P→P∨Q是重言式。故P⇒P∨Q。
（2）当后件P取真值F时，则前件P∧Q＝F∧Q也必取真值F。因而，P∧Q→P是重言式。故P∧Q⇒P。
一个正确的逻辑推理形式，由真的前提出发必能得出真的结论，其前提与结论之间的逻辑形式正是蕴涵式。如果推理形式是正确的，那么由推理的前提和结论构成的条件公式必定是一个重言式。检查一个推理的推理形式是否正确，只须写出相应于推理的条件命题公式，判定这个条件命题公式是否重言式即可。
使用此方法，可以证明下述基本蕴涵式。
（1）化简式：P∧Q⇒P；P∧Q⇒Q。
（2）附加式：P⇒P∨Q；Q⇒P∨Q。
（3）假言推理：P∧（P→Q）⇒Q。
（4）拒取式：﹁Q∧（P→Q）⇒﹁P。
（5）析取三段论：﹁P∧（P∨Q）⇒Q。
（6）假言三段论：（P→Q）∧（Q→R）⇒P→R。
（7）二难推论：（P∨Q）∧（P→R）∧（Q→S）⇒R∨S。
（8）等价三段论：（P↔Q）∧（Q↔R）⇒（P↔R）。
（9）合成式：P，Q⇒P∧Q（此式的逻辑含义是：有前提P，Q可得结论P∧Q）。
这些基本蕴涵式，反映了命题逻辑推理的形式结构，体现了基本的逻辑规律，总结了人们思维推理的一些常用方法，并且是证明其他推理形式的基础和依据。
【例1.5.1】 逻辑推理的一个具体例子：
若a＞0，则｜a｜＝a
其形式结构即假言推理。
【例1.5.2】 由基本蕴涵式证明：
（1）﹁P⇒P→Q；（2）﹁（P→Q）⇒P。
证明：（1）由附加式，﹁P⇒﹁P∨Q知﹁P→（﹁P∨Q）是重言式。做等值替换得重言式﹁P→（P→Q），所以﹁P⇒P→Q。
（2）由化简式P∧﹁Q⇒P知，（P∧﹁Q）→P是重言式，而P∧﹁Q＝﹁（﹁P∨Q）＝﹁（P→Q），所以﹁（P→Q）→P是重言式，即﹁（P→Q）⇒P。
【例1.5.3】 使用归谬法证明（P→Q）→（﹁Q→﹁P）是重言式。
假定（P→Q）取值T，而（﹁Q→﹁P）取值F（即（P→Q）→（﹁Q→﹁P）并非重言式）。于是﹁Q值为T，而﹁P值为F，即Q值为F，P值为T，因而P→Q取值F。这与（P→Q）取值T矛盾。所以（P→Q）取值T时（﹁Q→﹁P）只能取值T，故（P→Q）→（﹁Q→﹁P）是重言式。同样方法还可以证明（﹁P→﹁Q）→（Q→P）也是重言式。
【例1.5.4】 一个数学推理的逻辑形式结构正确性的证明。
数学命题“若a 2 是偶数，则a是偶数”的证明可以用归谬法作以下推演。
上述证明的推理形式是：﹁P→Q，Q→R，R→﹁S，所以S→P。此推理形式即：
﹁P→Q，Q→R，R→﹁S⇒S→P。
要证明这一数学推理的抽象的逻辑推理形式是正确的，现在只须证明（﹁P→Q）∧（Q→R）∧（R→﹁S）→（S→P）是重言式。下面给出3种证明G＝（﹁P→Q）∧（Q→R）∧（R→﹁S）→（S→P）是重言式的证明方法。
（1）真值表法（见表1-10）
表1-10 真值表
表中第2列是﹁P→Q的真值表，第3列是Q→R的真值表，第4列是R→﹁S的真值表，第5列是（﹁P→Q）∧（Q→R）∧（R→﹁S）的真值表，第6列是S→P的真值表，第7列是公式G的真值表。从表1.10的真值表可知（﹁P→Q）∧（Q→R）∧（R→﹁S）→（S→P）是重言式，因而有﹁P→Q，Q→R，R→﹁S⇒S→P。
（2）等值推演法
（3）简化真值表法
用简化真值表法证明条件命题公式A→B是重言式，只须证明当A取T值时B也取T值；或者当B取F值时，A也取F值。不然，则A→B非重言式。
在G中，假定S→P取值F，则S取值为T，而P取值为F。于是﹁P取值是T，而﹁S取值是F。考虑﹁P→Q，R→﹁S和Q→R。若Q→R为假，则（﹁P→Q）∧（Q→R）∧（R→﹁S）取值为F，因而G是重言式得证。若Q→R取值真，则要么Q、R同真，要么Q取值为假。若是前者，则R→﹁S取值假；若是后者，则﹁P→Q取值假。不管是哪种情况，都有（﹁P→Q）∧（Q→R）⋀（R→﹁S）取值为F，因而G是重言式。综上所述可知（﹁P→Q）⋀（Q→R）∧（R→﹁S）→（S→P）是重言式。
下面讨论等价与蕴涵的关系。
设A，B是命题公式，则A＝B当且仅当A↔B是重言式。但A↔B＝（A→B）∧（B→A）。因而当且仅当（A→B）∧（B→A）是重言式。因此，当且仅当（A→B）且（B→A）是重言式。于是当且仅当A⇒B且B⇒A。可见证明两个命题公式等值，当且仅当证明这两个命题公式互蕴涵。
蕴涵有如下重要性质：
（1）设A，B，C是命题公式，则如果A⇒B且A⇒C，那么A⇒B∧C。
事实上，由A⇒B，A⇒C可知A→B及A→C都是重言式。因而当A取真值T时，B、C必都取得真值T，从而B∧C取得真值T，于是A→B∧C是重言式，即A⇒B∧C。
同理可得：若A⇒C且B⇒C，则A∧B⇒C及若A⇒C且B⇒D则A∧B⇒C∧D。
（2）设A，B，C是命题公式，则如果A⇒C且B⇒C那么A∨B⇒C。
这是因为，C取真值F时，由A⇒C，B⇒C知，A，B都取真值F，于是A∨B也取真值F，所以A∨B⇒C。
练习1-5
（1）设P→Q为条件命题，则称﹁P→﹁Q，Q→P和﹁Q→﹁P分别为P→Q的否定式，逆换式和逆否式。试写出命题：“如果你能持之以恒，那么就会自学成才”的否定式、逆换式和逆否式，并分析它们与条件命题P→Q之间的真值取值关系。
（2）证明：
①若A⇒C且B⇒D，则A∧B⇒C∧D。
②若A⇒B且B⇒C，则A⇒C。
（3）判断下列命题的真伪：
①重言式的否定式是矛盾式。
②矛盾式的否定式是重言式。
③不是重言式，就是矛盾式。
④不是矛盾式，就是重言式。
⑤重言式必为可满足式。
⑥不是矛盾式，就是可满足式。
⑦可满足式未必是重言式。
⑧不是可满足式就是矛盾式。
（4）请将元人姚燧的诗“欲寄君衣君不还，不寄君衣君又寒；寄与不寄间，妾身千万难”写成命题形式。
