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第5章
其实，算术这个学科有一条自带的评论音轨，告诉我们算术的本质和目的到底是什么。可惜的是，大部分学习数学的人都忙于研究长除法和公分母，而完全关掉了这条评论音轨。在我看来，这条音轨才是算术的本质：算术就是不断寻找更全面、更完美的数字的过程。
如果我们只满足于数数，满足于加法和乘法运算，那么自然数，也就是1、2、3……就足够用了。但是，聪明的人类很快就提出了一个更为高级的问题：如果什么都没有，该如何表示？我们需要创造一个新的数字，那就是零。接下来，既然我们可以借款和负债，那么我们又需要负数。加入零和负数以后，这个新的数字集合就是整数。整数和自然数一样，是非常自然和完整的，但整数的产生赋予人类更多的力量：现在我们不仅可以进行加法和乘法运算，还可以做减法运算。
但是，当我们试着和别人分享东西，新的问题又产生了。把一个数平均分成几份有时是不可能的，除非我们再次扩大数字定义的范围。为此，我们发明了分数。分数是两个整数的值，所以它的学名叫作有理数。很遗憾，当接触到有理数的知识，很多学生就开始感到迷惑，并视数学为恐怖的学问了。
确实，除法以及除法的结果产生了不少让大家迷惑不解的东西。其中最令人抓狂的莫过于描述整体的一部分居然可以有那么多种不同的方式。
如果你把一块巧克力蛋糕从中间切开，切成大小相同的两小块，那么你可以说每一小块是整块蛋糕的“一半”。你也可以说，每一小块是整块蛋糕的1/2（1/2的意思就是两份同样大小的东西中的一份，1和2之间的那一条线正是象征着切割）。除此之外，你还可以说，每一小块蛋糕是整块蛋糕的50%，50%就是100份中的50份。除此之外，你还可以引入小数的概念，你也可以说每一小块是0.5份整块蛋糕。
也许正是因为选择过多，我们才会在面对分数、小数和百分数的时候感到迷惑，感到无所适从。电影《我的左脚》中就有一个鲜活的例子。《我的左脚》讲的是克里斯蒂·布朗的真实故事。克里斯蒂·布朗是一位天才的爱尔兰作家、画家和诗人。克里斯蒂·布朗出生在一个工薪阶级的大家庭中，先天患有脑瘫，几乎无法说话，也不能控制自己的大部分肢体活动。只有他的左脚是灵活的。从小，克里斯蒂·布朗一直被家人当作一个残疾人，尤其是他暴虐的父亲，总是对克里斯蒂充满仇恨，十分残酷地对待他。
电影中最关键的情节之一是发生在厨房里的一幕。克里斯蒂的姐姐正坐在父亲旁边，安静地做着数学作业。而克里斯蒂仍像往常一样，歪歪扭扭地坐在椅子上，被安置在房间的角落里。突然，克里斯蒂的姐姐打破了沉默，她问父亲：“1/4的25%是多少？”她的父亲仔细地想了想，回答说：“1/4的25%？这真是一个愚蠢的问题。1/4不就是25%吗？难道还有1/4的1/4吗？”姐姐回答说：“当然有1/4的1/4啦，克里斯蒂，你说呢？”这时，克里斯蒂的爸爸轻蔑地说：“啊，你问他？他懂些什么？”
听了这话，克里斯蒂歪歪扭扭地用左脚拿起一支粉笔。他艰难地调整着粉笔的角度，在地上的石板上画下了一个1，然后画上一条斜线，接着写出了一个让人看不懂的符号——他想写的是16，但却把6这个数字写反了。焦急的克里斯蒂用脚跟擦掉了那个写错了的数字6，试着重写，但是这一次粉笔动得太快，又把数字16变成了一个没人能看懂的符号。克里斯蒂的父亲冷笑道：“我看他只是神经质地抽风吧。”说完就转身走开了。克里斯蒂则筋疲力尽地靠在了椅背上。
这一幕的戏剧张力非常大，但对我来说，印象最深刻的还是克里斯蒂的父亲对数学概念的理解是多么僵硬、死板。到底为什么他会觉得不能有1/4的1/4呢？也许对他来说，只有一个完整的东西才能有1/4？或者只有已经进行了四等分的东西才有1/4？但是，我想他没有理解的是：其实任何东西都可以进行四等分。即使一个东西已经是整体的1/4，也完全可以再进行四等分，得到其中的1/4，下图清楚地表示出了这个过程。
从图中可以看出，最后这个圆形一共被分成了16份，也就是说每一小份都是整体的1/16。克里斯蒂试着在地上写出的数字正是1/16，他想的一点也没错，1/4的1/4就是1/16。
类似的僵化思维的误区在实际生活中时常出现，只不过在网络化的今天，这样的误区也穿上了网络化的外衣。几年前，一位名叫乔治·瓦卡罗的顾客和威瑞森电话公司的客服人员产生了争论。因为有理说不清，这位愤怒又无奈的顾客把他和威瑞森公司两位客服人员的通话录音发布到了网络上。这位顾客称，他使用电话公司的数据业务，合同约定的资费是每千字节0.002美分，但实际的账单是每千字节0.002美元，实际收费是合同规定的100倍。瓦卡罗和客服的有趣对话的点击率很快爬升到Youtube网站喜剧版的前50名。
下面，我来摘录一段他们的争论，这段争论发生在录音播放到约1/2的地方，对话的双方是乔治·瓦卡罗和威瑞森公司的一位客服经理安德烈。
瓦卡罗：你知道1美元和1美分是有区别的吗？
安德烈：当然。
瓦卡罗：那你知道0.5美元和0.5美分是有区别的吗？
安德烈：当然。
瓦卡罗：好，那么0.002美元和0.002美分，难道就没有区别吗？
安德烈：没有区别。
瓦卡罗：什么？为什么没有区别？
安德烈：我的意思是说，没有0.002美元这个概念。
几分钟以后，安德烈说道：“你看，显然1美元就是1.00美元，对吧。那么0.002美元到底是什么东西？我从来没有听说过0.002美元。0.002美元根本不是整数啊！”
对于客服经理安德烈来说，不会转化美元和美分只是她的问题之一。对她来说，真正的障碍是，她无法理解和想象1美元或1美分中的一小部分是什么意思。
关于小数的概念是如何让人迷惑，我自己绝对有着第一手的经验。我在读8年级的时候，斯坦顿老师开始教我们如何把分数转化成小数。通过长除法，我们发现，有些分数可以转化成末尾全部为零的小数，比如1/4=0.25 000……，0.25 000……可以简单地表示为0.25，因为末尾的那一串零没有任何意义。但是，也有一些分数会转化成为结尾无限循环的小数，比如：
=0.833 3……
我个人最喜欢的分数是1/7, 它所转化成的小数每6位循环一次：
这些内容还没有把我难倒，但是当斯坦顿老师教给我下面的知识时，我完全被弄糊涂了。斯坦顿老师给出了这样的一个等式：
斯坦顿老师说，在这个等式中，我们可以把两边同时乘以3，得到一个新的等式：
1=0.999 9……
由此可知，1和0.999 9……必须是相等的。
我彻底困惑了，我举手说1和0.999 9……不可能相等。因为不管斯坦顿老师在0.999 9……之后再写多少个9，我都可以在1.000 0后面写出同样多数量的0，然后用我的数字减去她的数字，两个数字的差永远不会等于零，而应该是0.000 0……01这种形式。
其实，我的这一举动就和克里斯蒂的父亲或是上文中提到的威瑞森公司的客服经理一样，虽然有人向我严格地证明了这个结论，但我就是无法接受它。我看得懂这个证明，但我就是拒绝相信这个结论。（我想你一定也认识几个这样的人吧。）
麻烦还没有结束（或者说精彩的内容还在后面），再读下去你恐怕就要听到自己的脑细胞在吱吱作响了。在斯坦顿老师的课上，我们学到了世界上还存在一种无限不循环的小数，比如说，我们可以轻而易举地创造出一个令人头痛的无限不循环小数：
0.121 221 222 122 22……
每一循环节中，2的数目都比前一节中多一个。这样的小数没有办法表示为分数。我们知道，任何分数转化为小数以后，要么是有限小数，要么是无限循环小数，这个结论是可以严格地被证明的。既然这个小数既不是有限小数，也不是无限循环小数，它就不可能是两个整数的比值，也就是说，这是一个无理数。
当然，上面的数字是我们硬造出来的，因此，你也许会觉得无理数是十分稀少的。但实际情况恰恰相反，无理数非常多。更准确地说，几乎所有的小数都是无理数，而且从统计上来看，这些无理数中各个数字的排列是相当随机的。
如果你可以敞开心胸去接受这些奇妙的事实，你就会发现，世界其实是多么混乱不堪。我们热爱和熟悉的整数和分数，其实是既稀缺又奇特的；而毫无章法的无理数才是主流。你还记得小学教室里的数轴模型吗？我们都被它那整齐又无害的外表骗了，没有人告诉过我们，其实它充满了混沌和混乱！