第4章

交换律：7×3与3×7都等于21

儿童的数学教育方法就像国际形势一般充满变数，差不多每过10年的时间，就会出版新的教材和出现新的教学方法。这些变化的结果就是，每一代父母都在儿女的数学教材面前一筹莫展。20世纪60年代，我的父母就受到了这样的打击，他们惊讶地发现自己竟然无力辅导我小学二年级的数学功课，因为他们从没学过对数，也完全没听说过维恩图这种东西。

现在，轮到我面对这样的难题了。“爸爸，你可以告诉我怎么做这道乘法题吗？”我心想：“当然没问题，不管怎么说我也是大学数学教授。”但是，没过一分钟，我的女儿就开始抗议了：“爸爸，老师不是这么教的啊，你那是老式的算法了。你难道不知道‘格子乘法’吗？那‘部分乘积’你总该知道吧？”

这些打击人自信心的情形一再发生，这促使我重新考虑乘法最基本、最原始的意义。虽然乘法看似是很简单、很自然的运算，但仔细想想，其中还真有不少微妙的地方。

就说乘法代表的意思，7×3到底是指“3个7相加”，还是“7个3相加”呢？

在某些文化和某些语言中，这个问题表述得会比较清楚。我有一个来自伯利兹的朋友，他是这样背诵乘法口诀表的：“1乘以7得7，2乘以7得14，3乘以7得21……”他的这种方法很清楚地解决了上一节中提出的问题，在每个算式中，第一个数字是乘数，第二个数字是被乘数。莱昂纳尔·里奇的经典歌曲的歌词“你是我一辈子、两辈子、三辈子的恋人”里也同样沿用了这种方法。（如果歌词是“你是我恋人的三辈子”，这歌准红不了！）

可能你会觉得我说了这么多话，完全是废话，哪个是乘数、哪个是被乘数有区别吗？3×7和7×3难道得出的不是同一个结果吗？你说得也没错。但是，我之所以提出这个问题，是因为我想在此深入地讨论一个较为抽象的问题：乘法的交换律真的是这么明显吗？ a × b = b × a 真的是理所当然的吗？我记得我在小时候第一次学到乘法交换律的时候，觉得十分吃惊，你是不是也跟我一样呢？

为了体验乘法交换律的神奇之处，让我们先假装自己并不知道3×7等于7×3。我们先来计算3个7的结果是多少：背一下乘法口诀表，一七得七，二七十四，三七二十一，我们知道答案是21。我们再来计算一下7个3的结果是多少：一三得三，二三得六，三三得九……你不觉得有点儿奇怪，这些数字与7的乘法口诀表里的数字一点儿都不一样！然后我们继续背下去……四三十二，五三十五，六三十八，然后，哈，七三二十一！

通过上面的一段描述，我想说明这样一个问题：如果你把乘法运算看作多次加法（即在一个数字上加上同一个数字，反复多次），那么乘法的交换律并不是显而易见的。

但是，如果我们借助一些视觉上的帮助，这个问题就清楚多了。我们不妨把7×3想象成一个长方形的矩阵，每行有3个小点，一共有7行，如下图所示。

只要把这个矩阵水平旋转90度，这个7行3列的矩阵就变成了一个3行7列的矩阵。显然，把一个矩阵水平旋转90度并不会改变矩阵中小点的数量，所以3×7等于7×3。

乘法交换律看似简单，但是在日常生活中，人们却常常忘记这一定律。尤其是当我们进行和金钱有关的计算时，大家常常忘记了乘法交换律，或是一时反应不过来。我来给大家举两个例子。

假设你在商场准备买一条新牛仔裤。牛仔裤的标价是50美元，现在购买可以享受8折优惠。这个折扣价格还是挺有吸引力的，但是在美国购物需要缴纳消费税，消费税是商品价格的8%。如果你有意购买这条牛仔裤，店员就会非常热情地恭维你：呀，这条裤子真是太适合你了，你看多合身啊，穿着多显身材啊。说完这些话以后，店员就开始扫描价签帮你结账，在这个过程中，这个店员突然停下来，神神秘秘地说：“我再给你打个折吧，我先在原价的基础上算消费税，然后再给你打8折，这样的话就能帮你多省几元钱，你认为怎么样？”

这个店员真是热情。不过，你听完她说的话总觉得哪里有点儿不对劲。于是，你回答说：“谢谢，不用了。你还是先给我8折优惠，再计算消费税吧，这样我应该能少付点消费税。”

我来问你：这两种算法，到底哪一种比较省钱呢？（假设两种算法都不违反消费税法规。）

面对这样的问题，很多人一时反应不过来。他们会用加法来解决这个问题，先算出税款和折扣额，再从总价里减去折扣额，加上税款，得到最后应付的价格。按照店员的算法，牛仔裤原价为50美元，8%的消费税就是4美元，税后总价为54美元。然后，店员给顾客8折优惠，54美元的20%是10.80美元。54美元减去10.80美元，最后应付43.20美元。而按照顾客的算法，先按照原价打8折，即50美元的折后价为40美元，然后40美元的8%是3.20美元，最后应付金额是40美元加上3.20美元，仍然是43.20美元。

原来两种算法的结果是一样的，真是神奇！

但实际上，我们根本没必要进行这么复杂的计算，只需使用乘法交换律就可以解决这一问题。速算的关键是用乘法代替加法。按照店员的算法，先加8%的消费税，再打8折，也就是原价乘以1.08，然后再乘以0.8。而顾客的算法则是先打8折再加消费税，也就是原价乘以0.8，然后再乘以1.08。因为乘法交换律的缘故，1.08×0.8=0.8×1.08，所以，这两种算法的实付金额显然是没有差别的。

如果说买牛仔裤是一件小事，那么，养老金账户的选择就是一个很大的理财决策了。很多人都弄不清楚，究竟应该选择传统的养老金计划，还是应该选择401（k）养老金计划。抽象来说，这个问题是，如果你有一笔钱用于投资，你可以选择在投资开始时先缴税，也可以选择在投资结束收回资金时再缴税，那么你到底应该怎么选择呢？

与上面买牛仔裤的例子一样，乘法交换律告诉我们，如果其他因素（税率、投资回报率等）相同，那么先缴税与后缴税是一样的（遗憾的是，这些其他因素很少会完全一样）。如果说投资的年回报率相同，缴税的税率也相同，那么不管是选择投资一开始的时候缴税，还是选择投资结束收回资金的时候缴税，结果都是一样的。

当然，我这里讨论的是数学原理，而非理财建议。在现实生活中，问题往往并没有这么简单，在养老金计划的选择上，有很多额外的问题需要考虑，比如，在你退休的时候，你的收入是比现在高还是比现在低？税率是比现在高还是比现在低？你是否打算每期按政府规定的上限缴纳养老金的个人部分？你认为到你退休时，国家的养老金提取免税政策会有变化吗？如果不考虑这些因素（请不要误解我的意思，这些因素都是需要详细考虑的，只是从数学的角度来说，不考虑这些因素会使问题较为简化），那么先缴税还是后缴税是没有区别的。在这里，我只是想说明一个问题：乘法交换律在很多理财决策中都是很有用的。

关于如何选择养老金账户的问题，网上的很多个人理财讨论区里都有非常激烈的讨论。虽然从乘法交换律的角度来说，有些争论是毫无道理的，但是网上还是有很多贴吧吧主和博主坚决不承认这一点。你看，到了实际应用中，乘法交换律并没有得到广泛认可，很多人都没有完全掌握这个简单的法则，因为有些时候乘法交换律和我们的直觉是相互抵触的。

为什么我们会有意无意地忽视或抵制乘法交换律呢？也许是因为在我们的日常生活中，做事的顺序往往比较重要，先做还是后做的结果往往不同。你不能先吃蛋糕然后再去买蛋糕；你也不可能先脱袜子，然后再脱鞋子。

著名的物理学家穆雷·盖尔曼对交换律有着十分“独特”的认识。这位十分成功的科学家在年轻时也曾为自己的未来担忧。当时，盖尔曼即将从耶鲁大学毕业，准备进入研究生院深造。盖尔曼对学校的品牌十分在意，他认为自己必须在常春藤盟校继续攻读博士学位。遗憾的是，普林斯顿大学的研究生院没有录取盖尔曼，虽然哈佛大学录取了他，却迟迟不肯给他发奖学金或助学金。当时，盖尔曼最好的选择就是去麻省理工学院攻读博士学位，他为此感到极度沮丧，因为在盖尔曼的心目中，麻省理工学院只不过是一所脏兮兮的技术类学院，根本不符合他高贵的品位。最后，盖尔曼还是接受了麻省理工学院的录取通知，去那里继续完成学业。多年以后，当谈起自己当年的选择，盖尔曼声称，当时自己甚至考虑过自杀。他表示，之所以放弃了自杀的念头，是因为他意识到去麻省理工学院读书和自杀两件事是不服从交换律的：去麻省理工学院读书并不妨碍他日后自杀，但如果自杀了就不能再去麻省理工学院读书了。既然日后如有需要时仍可以选择自杀，不妨先去麻省理工学院读书。

对于不可交换律的重要性，盖尔曼是十分敏感的。我相信，作为一名量子物理学家，盖尔曼在日后的学习和工作中一定对不可交换律有着更为深刻的理解：很多时候，自然界就是不服从交换律的。而且，这绝对是一件好事。正是因为有了不可交换律，世界才能是我们今天看到的样子。如果任何事物都服从交换律，物质就不可能是固态的，原子也会自动毁灭。

在量子力学发展的初期阶段，维尔纳·海森堡和保罗·狄拉克发现了一条和我们平常的直觉认识极不相符的重要定律。如果我们用 p 表示一个粒子的动量，用 q 表示这个粒子的位置，那么，出乎人类意料的是，在自然界中， p × q ≠ q × p 。这条定律就是著名的海森堡测不准原理。如果自然界没有这种奇妙的不可交换律，原子就会毁灭，万事万物，包括我们人类也都不可能存在。

所以，我们每个人都应该注意自己的 p 和 q ，并且把这个道理教给我们的孩子。