为了区别这两种不同，我们把有限中的无限称为“足够多”。足够多，意味着它可以与一个无穷集合一一对应。但是，它不等于“足够大”，也就是说，足够多是有极限的。所以，无理数在0之后虽然有无限多个位数，，但它最后一位一定是“无穷小”。因此，无理数其实是可以“算尽”的。
这个证明显然不对。既然自然数已经与“所有”实数对应，你怎么造得出一个新实数？用这个方法，我也可以说，自然数多于实数。只要先把自然数与所有实数对应，然后我造出一个新自然数。此时，实数已经没有可以与这个新自然数对应的数，所以自然数多于实数。并且，这里恰好说反了。0到1之间的所有实数，可以表示为一条线段上的所有的点的集合。那么，我们用自然数依次为这些点排序，一直排下去，真的排不完吗？错。线段是有极限的。它最终将达到“无穷小”，也就是不能再分割。因此，当达到极限时，已经不能再有新的实数产生，而自然数仍然还有无穷多个。所以自然数的个数必然多于0到1之间的实数。不然“微积分”怎么可能实现呢？为什么人们会有错觉，认为无穷多个可以比较呢？例如，这样一个数，0.000……001，中间有无穷多个0，这个数其实就是“无穷小”。我们将自然数与无穷多个0一一对应，那么每一个0都将与一个自然数对应，则自然数将不可能再有多余的数与1对应。可是，这里的对应出于“限定”，只能与0对应。如果我们用自然数与所有的数字对应，那么不管前面有多少0，最终总是可以有一个自然数与1对应，因为0和1都是数字。
为了区别这两种不同，我们把有限中的无限称为“足够多”。足够多，意味着它可以与一个无穷集合一一对应。但是，它不等于“足够大”，也就是说，足够多是有极限的。所以，无理数在0之后虽然有无限多个位数，，但它最后一位一定是“无穷小”。因此，无理数其实是可以“算尽”的。
这个证明显然不对。既然自然数已经与“所有”实数对应，你怎么造得出一个新实数？用这个方法，我也可以说，自然数多于实数。只要先把自然数与所有实数对应，然后我造出一个新自然数。此时，实数已经没有可以与这个新自然数对应的数，所以自然数多于实数。并且，这里恰好说反了。0到1之间的所有实数，可以表示为一条线段上的所有的点的集合。那么，我们用自然数依次为这些点排序，一直排下去，真的排不完吗？错。线段是有极限的。它最终将达到“无穷小”，也就是不能再分割。因此，当达到极限时，已经不能再有新的实数产生，而自然数仍然还有无穷多个。所以自然数的个数必然多于0到1之间的实数。不然“微积分”怎么可能实现呢？为什么人们会有错觉，认为无穷多个可以比较呢？例如，这样一个数，0.000……001，中间有无穷多个0，这个数其实就是“无穷小”。我们将自然数与无穷多个0一一对应，那么每一个0都将与一个自然数对应，则自然数将不可能再有多余的数与1对应。可是，这里的对应出于“限定”，只能与0对应。如果我们用自然数与所有的数字对应，那么不管前面有多少0，最终总是可以有一个自然数与1对应，因为0和1都是数字。